5.2　扩频码序列
　　5.2.1　码序列的相关性
　　在扩展频谱通信中需要用高码率的窄脉冲序列。这是指扩频码序列的波形而言。并未涉及码的结构和如何产生等问题。
　　那么究竟选用什么样的码序列作为扩频码序列呢? 它应该具备哪些基本性能呢? 现在实际上用得最多的是伪随机码，或称为伪噪声(PN)码。
　　这类码序列最重要的特性是具有近似于随机信号的性能。因为噪声具有完全的随机性，也可以说具有近似于噪声的性能。但是，真正的随机信号和噪声是不能重复再现和产生的。我们只能产生一种周期性的脉冲信号来近似随机噪声的性能，故称为伪随机码或PN码。
　　为什么要选用随机信号或噪声性能的信号来传输信息呢？许多理论研究表明，在信息传输中各种信号之间的差别性能越大越好。这样任意两个信号不轻易混淆，也就是说，相互之间不易发生干扰，不会发生误判。理想的传输信息的信号形式应是类似噪声的随机信号，因为取任何时间上不同的两段噪声来比较都不会完全相似。用它们代表两种信号，其差别性就最大。
　　在数学上是用自相关函数来表示信号与它自身相移以后的相似性的。随机信号的自相关函数的定义为下列积分：
　　　
　　式中 f(t)为信号的时间函数，t为时间延迟。
　　
　　上式的物理概念是f(t)与其相对延迟的t 的f( t - t)来比较:
　　
　　如二者不完全重叠，即t ¹ 0，则乘积的积分 ya(t)为0；
　　
　　如二者完全重叠，即t＝0；则相乘积分后ya(0)为一常数。
　　
　　因此，ya(t)的大小可用来表征 f(t)与自身延迟后的f( t －t)的相关性，故称为自相关函数。
　　
　　现在来看看随机噪声的自相关性。图5－3(a)为任一随机噪声的时间波形及其延迟一段 t 后的波形。图5－3(b)为其自相关函数。当t＝0时，两个波形完全相同、重叠，积分平均为一常数。假如稍微延迟一 t，对于完全的随机噪声，相乘以后正负抵消，积分为0。因而在以t 为横座标的图上ya(t)应为在原点的一段垂直线。在其他 t 时，其值为0。这是一种理想的二值自相关特性。利用这种特性，就很轻易地判定接收到的信号与本地产生的相同信号复制品之间的波形和相位是否完全一致。相位完全对准时有输出，没有对准时输出为0。遗憾的是这种理想的情况在现实中是不能实现的。因为我们不能产生两个完全相同的随机信号。我们所能做到的是产生一种具有类似自相关特性的周期性信号。
　　　
　　图5－3
　　
　　
　　PN码就是一种具有近似随机噪声这种理想二值自相关特性的码序列。例如二元码序列1110l00为码长为7位的PN码。假如用＋1，－1脉冲分别表示“l”和“0”，则在图5－3(c)中示出其波形和它相对延迟 t 个时片的波形。这样我们很轻易求出这两个脉冲序列波形的自相关函数，如图5－3(d)中。自相关峰值在t ＝0时出现，自相关函数在± t0/2范围内呈三角形。t0为脉冲宽度。而其它延迟时，自相关函数值为－1/7, 即码位长的倒数取负值。
　　
　　当码长取得很大时，它就越近似于图5－3(b)中所示的理想的随机噪声的自相关特性。自然这种码序列就被称为伪随机码或伪噪声码。由于这种码序列具有周期性，又轻易产生，它就是下面即将介绍的m序列，成为直扩系统中常用的扩频码序列。
　　
　　扩频码序列除自相关性外，与其他同类码序列的相似性和相关性也很重要。例如有许多用户共用一个信道，要区分不同用户的信号，就得靠相互之间的区别或不相似性来区分。换句话说，就是要选用互相关性小的信号来表示不同的用户。两个不同信号波形f(t)与g(t)之间的相似性用互相关函数来表示：
　　　
　　假如两个信号都是完全随机的，在任意延迟时间 t 都不相同，则上式为0。假如有一定的相似性，则不完全为0。两个信号的互相关函数为0，则称之为是正交的。通常希望两个信号的互相关值越小越好，则它们越轻易被区分，且相互之间的干扰也小。　
　　
　　　5.2.1　m序列
　　
　　m序列是最长线性移位寄存器序列的简称。由于m序列轻易产生、规律性强、有许多优良的性能，在扩频通信中最早获得广泛的应用。
　　
　　顾名思义，m序列是由多级移位寄存器或其他延迟元件通过线性反馈产生的最长的码序列。在二进制移位寄存器发生器中，若n为级数，则所能产生的最大长度的码序列为2n－1位。
　　
　　现在来看看如何由多级移位寄存器经线性反馈产生周期性的m序列。图5－4(a)为一最简单的三级移位寄存器构成的m序列发生器。
　　　
　　图5－4
　　
　　
　　图中Dl、D2、D3为三级移位寄存器，为模二加法器。移位寄存器的作用为在时钟脉冲驱动下，能将所暂存的“1”或“0”逐级向右移。模二加法器的作用为图中(b)所示的运算，即0十0＝0，0十1＝1，1十0＝l，l十1＝0。图(a)中D2、D3输出的模二和反馈为Dl的输入。在图(c)中示出，在时钟脉冲驱动下，三级移位寄存器的暂存数据按列改变。D3的变化即输出序列。如移位寄存器各级的初始状态为111时，输出序列为1110010。在输出周期为23 －1＝7的码序列后，D1、D2、D3又回到111状态。在时钟脉冲的驱动下，输出序列作周期性的重复。因7位为所能产生的最长的码序列，1110010则为m序列。
　　
　　这一简单的例子说明：m序列的最大长度决定于移位寄存器的级数，而码的结构决定于反馈抽头的位置和数量。不同的抽头组合可以产生不同长度和不同结构的码序列。有的抽头组合并不能产生最长周期的序列。对于何种抽头能产生何种长度和结构的码序列，已经进行了大量的研究工作。现在已经得到3 --- 100级m序列发生器的连接图和所产生的m序列的结构。
　　
　　例如4级移位寄存器产生的15位的m序列之一为111101011001000。同理我不难得到31、63、127、255、511、l023…位的m序列。
　　
　　一个码序列的随机性由以下三点来表征：
　　
　　l　　　　一个周期内“l”和“0”的位数仅相差1位。
　　
　　l　　　　一个周期内长度为 l 的游程(连续为“0”或连续为“l”)占1／2，长度为2的游程占l／4，长度3的游程占l／8。只有一个包含n个“l”的游程，也只有一个包含(n―1)个“0”的游程。“l”和“0”的游程数相等。
　　
　　l　　一个周期长的序列与其循环移位序列远位比较，相同码的位数与不相同码的位数相差 l位。
　　M序列的一些基本性质：
　　 在m序列中一个周期内“1”的数目比“0”的数目多 l位。例如上述7位码中有4个“1”和3个“0”。　　在15位码中有8个“l”和7个“0”。
　　
　　 在表5－1中列出长为15位的游程分布。
　　
　　表5－1　　111101011001000游程分布
　　　
　　一般说来，m序列中长为R(1£ R £ n －2)的游程数占游程总数的l／2k。　　
　　
　　 m序列的自相关函数由下式计算：
　　　
　　令p =A + D = 2n －1
　　
　　则：
　　　
　　设n = 3, p = 23 － 1 ＝ 7， 则：
　　　
　　它正是图5－3(d)中所示的二值自相关函数。
　　 m序列和其移位后的序列逐位模二相加，所得的序列还是m序列，只是相移不同而已。
　　例如1110100与向右移三位后的序列1001110逐位模二相加后的序列为0111010，相当于原序列向右移一位后的序列，仍是m序列。
　　 m序列发生器中移位寄存器的各种状态，除全0状态外，其他状态只在m序列中出现一次。
　　如7位m序列中顺序出现的状态为111，110，101，010，100，00l和011，然后再回到初始状态111。
　　 m序列发生器中，并不是任何抽头组合都能产生m序列。理论分析指出，产生的m序列数由下式决定：
　　F(2n － 1) / n
　　　其中由F(X)为欧拉数(即包括1在内的小于X并与它互质的正整数的个数)。例如5级移位寄存器产生的 31位m序列只有6个。　
　　现在让我们来讨论一下m序列的相关特性。前面已经提到过m
　　5.2.3　GoId码序列
　　
　　m序列虽然性能优良，但同样长度的m序列个数不多，且序列之间的互相关值并不都好。R?Gold提出了一种基于m序列的码序列,称为Gold码序列。这种序列有较优良的自相关和互相关特性，构造简单，产生的序列数多，因而获得了广泛的应用。
　　如有两个m序列，它们的互相关函数的绝对值有界，且满足以下条件：
　　　
　　我们称这一对m序列为优选对。它们的互相关函数如图5-5(实线)，由小于某一极大值的旁瓣构成。假如把两个m序列发生器产生的优选对序列模二相加，则产生一个新的码序列，即Gold 序列。图5－6(a)中示出Gold码发生器的的原理结构图。
　　　
　　图5-5
　　图5－6(b)中为两个5级m序列优选对构成的Gold码发生器。这两个m序列虽然码长相同，但相加以后并不是m序列，也不具备m序列的性质。
　　　
　　图5-6
　　
　　
　　Gold序列的主要性质有以下三点：　
　　
　　 Gold序列具有三值自相关特性，类似图5-5中的自相关与互相关特性。其旁辩的极大值满足上式表示的优选对的条件。
　　
　　 两个m序列优选对不同移位相加产生的新序列都是Gold序列。因为总共有2n－1个不同的相对位移，加上原来的两个m序列本身，所以，两个m级移位寄存器可以产生2n＋1个Gold序列。